Bernard Bolzano (1871-1848)

bolzano2

Filósofo y matemático checoslovaco de origen italiano, contemporáneo de Cauchy. En 1805 enseñó filosofía en la Universidad de Praga. Entre sus principales obras se encuenta Teoría de la Ciencia.

En 1817 publica Rein Analytischer Beweis (Una prueba analítica pura), que contiene un esfuerzo exitoso por liberar al cálculo del concepto del infinitesimal. En esta obra enuncia el teorema que lleva su nombre:

Si una función es continua en el intervalo [a,b] y toma valores de signo opuesto en los extremos del intervalo (f(a), f(b)), entonces existe al menos un punto interior c del intervalo en el que se anula la función (f(c)=0).

bolzano1

Este teorema tiene una interesante aplicación en la localización de las raíces de una función continua y se utiliza como principio para métodos numéricos computacionales como el método de bisección.

Una hermosa lectura relacionada con la rama de investigación de Bolzano y Cauchy es:

Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus
Judith V. Grabiner, 424 West 7th Street, Claremont, California 91711

La cual empieza de una manera bastante divertida

bolzano3

Fuentes:

  • Analálisis Matematico para Ingeniería (Venturini)
  • http://es.wikipedia.org/wiki/Bernard_Bolzano
  • http://www.win.tue.nl/~sjoerdr/2DT01/Geschiedenis%20van%20limiet-begrip.pdf

Tiempo y Entropia – such a mess

 La idea de que el tiempo es un modo de decir que una cosa sigue a otra  como resultado de esta otra, parece que es la clave de la verdadera   naturaleza del tiempo.

Pero también nos encontramos con respuestas mas originales…

El comportamiento no decreciente del área de un agujero negro recordaba el comportamiento de una magnitud física llamada entropía, que mide el grado de desorden de un sistema. Es una cuestión de experiencia diaria que el desorden tiende a aumentar, si las cosas se abandonan a ellas mismas. Se puede crear orden a partir del desorden (por ejemplo, uno puede pintar la casa), pero esto requiere un consumo de esfuerzo o energía y por lo tanto disminuye la cantidad de energía ordenada obtenible.

Un enunciado preciso de esta idea se conoce como segunda ley de la termodinámica. Dice que la entropía de un sistema aislado siempre aumenta, y que cuando dos sistemas se juntan, la entropía del sistema combinado es mayor que la suma de las entropías de los sistemas individuales. Consideremos, a modo de ejemplo, un sistema de moléculas de gas en una caja. Las moléculas pueden imaginarse como pequeñas bolas de billar chocando continuamente entre si y con las paredes de la caja. Cuanto mayor sea la temperatura del gas, con mayor rapidez se moverán las partículas y, por lo tanto, con mayor frecuencia e intensidad chocaran contra las paredes de la caja, y mayor presión hacia afuera ejercerán. Supongamos que las moléculas están inicialmente confinadas en la parte izquierda de la caja mediante una pared separadora. Si se quita dicha pared, las moléculas tenderán a expandirse y a ocupar las dos mitades de la caja.

En algún instante posterior, todas ellas podría estar, por azar, en la parte derecha, o, de nuevo, en la mitad izquierda, pero es extremadamente más probable que haya un numero aproximadamente igual de moléculas en cada una de las dos mitades. Tal estado es menos ordenado, o más desordenado, que el estado original en el que todas las moléculas estaban en una mitad. Se dice, por eso, que la entropía del gas ha aumentado.  De manera análoga, supongamos que se empieza con dos cajas, una que contiene moléculas de oxigeno y la otra moléculas de nitrógeno. Si se juntan las cajas y se quitan las paredes separadoras, las moléculas de oxigeno y de nitrógeno empezaran a mezclarse. Transcurrido cierto tiempo, el estado más probable será una mezcla bastante uniforme de moléculas de oxigeno y nitrógeno en ambas cajas. Este estado estará menos ordenado, y por lo tanto tendrá más entropía que el estado inicial de las dos cajas separadas.

 La segunda ley de la termodinámica tiene un status algo diferente al de las restantes leyes de la ciencia, como la de la gravedad de Newton por citar un ejemplo, porque no siempre se verifica, aunque si en la inmensa mayoría de los casos. La probabilidad de que todas las moléculas de gas de nuestra primera caja se encuentren en una mitad, pasado cierto tiempo, es de muchos millones de millones frente a uno, pero puede suceder. Sin embargo, si uno tiene un agujero negro, parece existir una manera más fácil de violar la segunda ley: simplemente lanzando al agujero negro materia con gran cantidad de entropía, como, por ejemplo, una caja de gas. La entropía total de la materia fuera del agujero negro disminuirá. Todavía se podría decir, desde luego, que la entropía total, incluyendo la entropía dentro del agujero negro, no ha disminuido, pero, dado que no hay forma de mirar dentro del agujero negro, no podemos saber cuánta entropía tiene la materia de dentro. Sería entonces interesante que hubiera alguna característica del agujero negro a partir de la cual los observadores, fuera de el, pudieran saber su entropía, y que esta aumentará siempre que cayera en el agujero negro materia portadora de entropía. Siguiendo el descubrimiento descrito antes (el área del horizonte de sucesos aumenta siempre que caiga materia en un agujero negro), un estudiante de investigación  de Princeton, llamado Jacob Bekenstein, sugirió que el área del horizonte de sucesos era una medida de entropía del agujero negro. Cuando materia portadora de entropía cae en un agujero negro, el área de su horizonte de sucesos aumenta, de tal modo que la suma de la entropía de la materia fuera de los agujeros negros y del área de los horizontes nunca disminuye.

 

Tiempo y entropía
Las leyes de la ciencia no distinguen entre el pasado y el futuro. Con más precisión, como se explico anteriormente, las leyes de la ciencia no se modifican bajo la combinación de las simetrías conocidas como CP y T.  C significa cambiar partículas por antipartículas, P significa tomar la imagen especular y T significa invertir la dirección del movimiento de todas las partículas: en realidad, ejecutar el movimiento hacia atrás. Las leyes de la ciencia que gobiernan el comportamiento de la materia en todas las situaciones normales no se modifican bajo la combinación de las dos operaciones C y P por si solas. En otras palabras, la vida seria exactamente la misma para los habitantes de otro planeta que fuesen imágenes especulares de nosotros y que estuviesen hechos de antimateria en vez de materia. Si las leyes de la ciencia no se pueden modificar por la combinación de las operaciones C y P, y tampoco por la combinación CP y T, tienen también que permanecer inalteradas bajo la operación T sola. A pesar de todo, hay una gran diferencia entre las direcciones hacia adelante y hacia atrás del tiempo real en la vida ordinaria. Imagine un vaso de agua cayéndose de una mesa y rompiéndose en pedazos en el suelo. Si usted lo filma en película, puede decir fácilmente si está siendo proyectada hacia adelante o hacia atrás. Si la proyecta hacia atrás vera los pedazos repentinamente reunirse del suelo y saltar hacia atrás para formar un vaso entero sobre la mesa. Usted puede decir que la película está siendo proyectada hacia atrás por que este tipo de comportamiento nunca se observa en la vida ordinaria. Si se observase, los fabricantes de vajillas perderían el negocio.

La explicación que se da usualmente de por qué no vemos vasos rotos recomponiéndose  ellos solos en el suelo y saltando hacia atrás sobre la mesa, es que lo prohíbe la segunda ley de la termodinámica. Esta ley dice que en cualquier sistema cerrado el desorden, o la entropía, siempre aumenta con el tiempo. En otras palabras, se trata de una forma de la ley de Murphy: Las cosas siempre tienden a ir mal!

Un vaso intacto encima de una mesa es un estado de orden elevado, pero un vaso roto en el suelo es un estado desordenado. Se puede ir desde el vaso que esta sobre la mesa en el pasado hasta el vaso roto en el suelo en el futuro, pero no al revés.

El que con el tiempo aumente el desorden o la entropía es un ejemplo de lo que se llama una fecha del tiempo, algo que distingue el pasado del futuro dando una dirección al tiempo. Hay al menos tres flechas del tiempo diferentes. Primeramente, la que el desorden o la entropía aumentan. Luego está la flecha psicológica. Esta es la dirección en la que nosotros sentimos/percibimos que pasa el tiempo, la dirección en la que recordamos el pasado pero no el futuro. Finalmente, esta la flecha cosmológica. Esta es la dirección del tiempo en la que el universo esta expandiéndose en vez de contrayéndose.

Discutiremos ahora  como la condición de que no haya frontera para el universo, junto con el principio antrópico débil, puede explicar por qué las tres flechas apuntaran en la misma dirección y, además, por que debe existir una flecha del tiempo bien definida. Argumentare que la flecha psicológica del tiempo está determinada por la flecha termodinámica, y que ambas flechas apuntan siempre necesariamente en la misma dirección. Si se admite la condición de que no haya frontera para el universo, veremos que tienen que existir flechas termodinámica y cosmológica del tiempo bien definidas, pero que no apuntaran en la misma dirección durante toda la historia del universo. No obstante razonare que únicamente cuando apuntan en la misma dirección es cuando las condiciones son adecuadas para el desarrollo de seres inteligentes que puedas hacerse la pregunta: ¿Por que aumenta el desorden en la misma dirección del tiempo en la que el universo se expande?

Me referiré primero a la flecha termodinámica del tiempo.  La segunda ley de la termodinámica resulta del hecho de que hay siempre muchos mas estados desordenados que ordenados. Por ejemplo, consideremos las piezas de un rompecabezas en una caja. Hay un orden, y solo uno, en el cual las piezas forman una imagen completa. Por otra parte, hay un número muy grande de disposiciones en las que las piezas están desordenadas y no forman una imagen. Supongamos que un sistema comienza en uno de entre el pequeño número de estados ordenados. A medida que el tiempo pasa el sistema evolucionara de acuerdo a las leyes de la ciencia y su estado cambiara. En un tiempo posterior es más probable que el sistema este en un estado desordenado que en uno ordenado, debido a que hay muchos mas estados desordenados. De este modo, el desorden tendera a aumentar con el tiempo si el sistema estaba sujeto a una condición inicial de orden elevado. Imaginemos que las piezas del rompecabezas están inicialmente en una caja en la disposición ordenada en la que forman una imagen. Si se agita la caja, las piezas adquirirán otro orden que será, probablemente, una disposición desordenada en la que las piezas no forman una imagen propiamente dicha, simplemente porque hay muchísimas mas disposiciones desordenadas. Algunos grupos de piezas pueden todavía formar partes correctas de la imagen, pero cuanto más se agite la caja tanto más probable será que esos grupos se deshagan y que las piezas se  hallen en un estado completamente revuelto, en el cual no formen ningún tipo de imagen. Por lo tanto el desorden de las piezas aumentara probablemente con el tiempo si las piezas obedecen a la condición inicial de comenzar con un orden elevado.

Supóngase, sin embargo, que Dios decidió que el universo debe terminar en un estado de orden elevado sin importar de que estado partiese. En los primeros momentos, el universo habría estado probablemente en un estado desordenado. Esto significaría que el desorden disminuiría con el tiempo. Usted vería vasos rotos recomponiéndose ellos solos y saltando hacia la mesa. Sin embargo, ningún ser humano que estuviese observando los vasos estaría viviendo en un universo en el cual el desorden disminuyese con el tiempo. Razonare que tales seres tendrían una flecha psicológica del tiempo que estaría apuntando hacia atrás. Esto es, ellos recordarían sucesos en el futuro y no recordarían sucesos en el pasado. Cuando el vaso estuviese roto  lo recordarían recompuesto sobre la mesa, pero cuando estuviese recompuesto sobre la mesa no lo recordarían estando en el suelo.

Es bastante difícil hablar de la memoria humana, porque no conocemos como funciona el cerebro en detalle. Lo conocemos todo, sin embargo, sobre cómo funcionan las memorias de ordenadores. Discutiré por lo tanto la flecha psicológica del tiempo para ordenadores. Creo que es razonable admitir que la flecha para ordenadores es la misma que para los humanos. Si no lo fuese, ¡Se podría tener un gran éxito financiero en la bolsa poseyendo un ordenador que recordase las cotizaciones de mañana!

Una memoria de ordenador consiste básicamente en un dispositivo que contiene elementos que pueden existir en uno cualquiera de dos estados. Un ejemplo sencillo es un ábaco. En su forma más simple, este consiste en varios hilos; en cada hilo hay una cuenta que puede ponerse en una de dos posiciones. Antes de que un numero sea grabado en una memoria de ordenador, la memoria esta en un estado desordenado, con probabilidades iguales para los dos estados posibles. (Las cuentas del ábaco están dispersas aleatoriamente en los hilos del ábaco). Después de que la memoria interactúa con el sistema a recordar, estará claramente en un estado o en el otro, según sea el estado del sistema. (Cada cuenta del ábaco estará a la izquierda o a la derecha del hilo del ábaco). De este modo, la memoria ha pasado de un estado desordenado a uno ordenado. Sin embargo, para estar seguros de que la memoria esta en el estado correcto es necesario gastar una cierta cantidad de energía (para mover la cuenta o para accionar el ordenador, por ejemplo). Esta energía se disipa en forma de calor, y aumenta la cantidad de desorden en el universo. Puede demostrarse que este aumento del desorden es siempre mayor que el aumento del orden en la propia memoria. Así, el calor expelido por el refrigerador del ordenador asegura que cuando grabamos un número en la memoria, la cantidad total de desorden en el universo aumenta a pesar de todo. La dirección del tiempo en la que un ordenador recuerda el pasado es la misma que aquella en la que el desorden aumenta.

Nuestro sentido subjetivo de la dirección del tiempo, la flecha psicológica del tiempo, está determinado por tanto dentro de nuestro cerebro por la flecha termodinámica del tiempo. Exactamente igual que un ordenador, debemos recordar las cosas en el orden en que la entropía aumenta. Esto hace que la segunda ley de la termodinámica sea casi trivial. El desorden aumenta con el tiempo porque nosotros medimos el tiempo en la dirección en la que el desorden crece. ¡No se puede hacer una apuesta más segura que esta!

Fragmentos de un pequeño gran libro de divulgación, “La historia del Tiempo” de Stephen Hawkings. 🙂

Bioinformática

En la actualidad, robots, virus informáticos, hormigas virtuales ovants, agentes software o knowbots, sistemas de realidad virtual, neuronas artificiales, mascotas artificiales, sistemas expertos, algoritmos genéticos y evolutivos, sistemas de Lindenmayer, y un largo etcétera representan los primeros productos bioinspirados que emulan a los seres vivos o a algunas de sus facetas, ya sea el aprendizaje, la reproducción, la evolución o su desenvolvimiento en sociedades artificialmente creadas.

Ejercicio de Cálculo II

Estudiar la cotinuidad de  en

Podemos estudiar los límites a través del conjunto de rectas que pasa por el origen tal que 

Como vemos el valor es 0, ahora vamos a tratar de resolverlo por definición para demostrar que es efectivamente este valor y mostrar, a la vez, su continuidad en punto

 

 

 

 

Entonces, queda demostrado que para cualquier epsilon mayor que cero y tan chico como queramos, existe un delta que hace a la diferencia entre la función y L mas chica que el epsilon elegido para valores lo suficientemente cerca de (0,0).

Por lo tanto: La función es continua en el origen.

Corroboramos esto con un grafico de la funcion cerca del punto (0,0)
cII

:wq!

ClassPad 330 – Casio

Resulta que hace poco tuve la mala suerte de perder mi calculadora científica. No era más de lo que necesitaba para las materias que venía cursando en la facu, pero en vistas a un futuro no muy lejano y pensando en las ventajas de estudiar teniendo una herramienta mejor a disposición empecé a considerar una calculadora que grafique y por qué no, programable. Después de una “extensa” búsqueda que duro dos días me quede con estos dos modelos:

  1. HP 50g
  2. Casio ClassPad 330

 

 

 

La verdad es que ambas tienen las mismas funcionalidades, la única diferencia es que la HP soporta tarjetas SD para expandir la memoria, pero por otro lado la Casio tiene un display touchscreen mucho más grande, una interfaz mucho más amigable y cuesta unos pesos menos.

Datos Generales:
RAM: 500 kB      Flash-ROM:  5.4 MB.
Add-in de comunicaciones y Add-in para actualizar la versión (Actualizaciones de las aplicaciones y SO) por Flash-ROM.
Gran pantalla LCD monocromática de 160 x 240 puntos.
Manejo por lápiz (digital) y pantalla táctil.
Teclado virtual.
Selección de formas de expresión matemáticas prefijadas para la introducción de los coeficientes.
Interfaz de conexión al PC por medio de cable USB y entre dos ClassPad.
Tamaño (H x A x L): unos 21 x 84 x 189,5 mm.
Peso: aprox. 280 g, pilas incluidas (4 pilas AAA).

Funciones:
Computer Algebra System (CAS).
Software dinámico de geometría.
Cálculo de tablas.
Aplicaciones matemáticas completas (p. ej. ecuaciones polinómicas de grado superior, series numéricas recursivas).
Presentaciones gráficas ampliadas (p. ej. zoom, función de seguimiento, modo de cónicas, gráficos en 3D).
Trigonometría, estadística, cálculo diferencial e integral.
Transformación de Laplace y Fourier (Antitransformada también).
Programación: memoria de fórmulas, solucionador interactivo de ecuaciones, programación definida por el usuario.
Matemática financiera.
Presentación de diapositivas.
Cálculo matricial: creación de matrices en notación matemática, complemento de filas y/o columnas, determinantes, transposición, vector propio, valor propio.
Cálculo algebraico con comandos como factor, expand, simplify, approx, combine, collect, etc.
Operaciones con números complejos.
Distribucion Gaussiana, Polinomica, Logaritmica.
Aproximaciones lineales por Cuadrados Minimos.

Funciones de Algebra
Permite el cálculo de las funciones de algebraicas tales como:
Combine, Expand, simplify, factor, collect entre otras
Realiza conversiones sexagesimales a decimales y viceversa
Obtiene y realiza funciones con medidas en grados y en radianes
Producto Cruz en R3 y producto interno.
Posee un generador de números aleatorios
Crea matrices con la notación científica matemática y realiza el complemento de filas y columnas para realizar operaciones con matrices
Posee funciones tales como logaritmos (log), exponenciales (ex), producto de dos variables (xy), producto de una variable con una constante (vx)

Probabilidad y Estadística
Calcula permutaciones (Pr)
Calcula Combinaciones (Cn)

Gráficos
Grafica funciones en plano cartesiano, funciones paramétricas y polares. Asi mismo, también posee la flexibilidad de graficar inecuaciones.
Encuentra la raiz de una ecuación o intersección de esta con los ejes, el máximo, el mínimo, y los puntos de inflexión en las curvas
Permite modificar gráficas y generar tablas mediante la introducción de valores en la función graficada
Grafica en tres dimensiones (ejes x,y, z)
Permite observar una gráfica desde cualquiera de los tras ejes a seleccionar
Rotación automática a izquierda, derecha, arriba o abajo
Permite leer coordenadas gráficas mediante la función Trace

 

 


Triangulo de Pascal – PHP

De wikipedia:

En matemática, el triángulo de Pascal es una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Es llamado así en honor al matemático francés Blaise Pascal, quien introdujo esta notación en 1654, en su Traité du triangle arithmétique.

En regiones como China, India o Persia, esta formulación era bien conocida y fue estudiada por matemáticos como Al-Karaji, cinco siglos antes de que Pascal expusiera sus aplicaciones, o por el astrónomo y poeta persa Omar Jayyam (1048-1123). En China es conocido como Triángulo de Yanghui, en honor al matemático Yang Hui, quien lo describió en el año 1303.

Como se sabe, dentro de este pequeño triángulo hay una cantidad ilimitada de informacion que tiene que ver con la combinatoria esencialmente. Su desarrollo en base a series binomiales y números combinatorios es de la siguiente manera:

( Binomio de Newton )

(Fila 3 del triángulo = 1 3 3 1 )

Pero la cuestion no es hablar del triángulo en si mismo ni de sus propiedades ya que wikipedia lo hace bastante bien. Mencionado lo anterior el fin de este código es dibujar el triángulo recursivamente con la propiedad de que:
‘Todo numero que no pertenece a las diagonales externas del triangulo es la suma de sus 2 vecinos en la fila de arriba’

Si alguien quiere mejorar la estetica del mismo, es bienvenido 🙂

 

<?php
 
function par($num){
    if($num%2==0){
        return 1;
    }else{
        return 0;
    }
}
 
function triangulo($fila,$pos){
    $cant=$fila;
    if($fila==1 or $pos==$cant or $pos==1){
        return 1;
    }else if($pos<=$fila){
        $num=triangulo(($fila-1),($pos-1))+triangulo(($fila-1),$pos);
        return $num;
    }
}
 
function triangulo_dibujo($fila,$pos){
    $cant=$fila;
    if($fila==1){
        echo "1<br />";
    }else if($pos==1){
        echo "1 | ";
    }else if($pos==$cant){
        echo "1 <br />";
    }else if($pos<=$fila){
        $num=triangulo(($fila-1),($pos-1))+triangulo(($fila-1),$pos);
        if(par($num)==1){
            echo "<font color='red'>".$num."</font> | ";
        }else{
            echo $num." | ";
        }
    }
}
?>
<div style="text-align:center;border:1px solid;">
<?php
//Dibujamos hasta la fila 23
for ($i=1;$i<=23;$i++){
    for($j=1;$j<=$i;$j++){
        triangulo_dibujo($i,$j);
    }
}
?>
</div>

Quedando así

Saludos!